Harmonic Analysis on the Heisenberg Group

گروه هایزنبرگ در چندین شاخه از ریاضیات مانند نظریه نمایش، معادلات دیفرانسیل جزئی، نظریه اعداد، چندین متغیر پیچیده و مکانیک کوانتومی نقش مهمی ایفا می کند. این تک نگاری به جنبه های مختلف تحلیل هارمونیک در گروه هایزنبرگ می پردازد، که در میان گروه های دروغ غیر جابه جایی، بیشترین جابه جایی را دارد و از این رو بیشترین فرصت را برای تعمیم نتایج قابل توجه تحلیل هارمونیک اقلیدسی می دهد. هدف این متن نشان دادن چگونگی شکل گیری نتایج استاندارد آنالیز هارمونیک آبلی در چیدمان غیرآبلین گروه هایزنبرگ است. و برخی از قضایا در جای دیگر ظاهر نشده اند. بحث مفصل نظریه بازنمایی گروه هایزنبرگ فراتر از نظریه پایه استون فون نویمان است و روابط آن با توابع ویژه کلاسیک برای هر خواننده ای که به این گروه علاقه مند است ارزشمند است. موضوع پوشش داده شده شامل قضایای پلانچرل و پیلی—قضیه های وینر، نظریه طیفی سابلاپلاسین، قضایای وینر-تاوبری، ابزارهای بوشنر-ریس و ضرب کننده های تبدیل فوریه است.

شرح تانگاولو واضح و به خوبی توسعه یافته است، و منجر می شود. چندین مشکل قابل بررسی بیشتر است. هر خواننده ای که علاقه مند به تحقیق در مورد گروه هایزنبرگ باشد، این متن منحصر به فرد و مستقل را ارزشمند خواهد یافت.

The Heisenberg group plays an important role in several branches of mathematics, such as representation theory, partial differential equations, number theory, several complex variables and quantum mechanics. This monograph deals with various aspects of harmonic analysis on the Heisenberg group, which is the most commutative among the non-commutative Lie groups, and hence gives the greatest opportunity for generalizing the remarkable results of Euclidean harmonic analysis. The aim of this text is to demonstrate how the standard results of abelian harmonic analysis take shape in the non-abelian setup of the Heisenberg group.

Several results in this monograph appear for the first time in book form, and some theorems have not appeared elsewhere. The detailed discussion of the representation theory of the Heisenberg group goes well beyond the basic Stone-von Neumann theory, and its relations to classical special functions is invaluable for any reader interested in this group. Topic covered include the Plancherel and Paley—Wiener theorems, spectral theory of the sublaplacian, Wiener-Tauberian theorems, Bochner—Riesz means and multipliers for the Fourier transform.

Thangavelu’s exposition is clear and well developed, and leads to several problems worthy of further consideration. Any reader who is interested in pursuing research on the Heisenberg group will find this unique and self-contained text invaluable.