Applications of Lie Algebras to Hyperbolic and Stochastic Differential Equations

بخش اصلی کتاب بر اساس یک دوره تحصیلات تکمیلی یک ترم برای دانشجویان در رشته ریاضیات است. من سعی کرده‌ام نظریه سیستم‌های هذلولی معادلات دیفرانسیل را به روشی سیستماتیک توسعه دهم و تا حد امکان از سیستم‌های گرادیان و نمایش جبری آنها استفاده کنم. با این حال، با وجود شباهت های قوی بین توسعه ایده ها در اینجا و آنچه در دوره Lie alge bras یافت می شود، این کتابی در مورد جبرهای دروغ نیست. ترتیب ارائه عمدتاً با در نظر گرفتن این نکته تعیین شده است که نمایش جبری و مطابقت هممورفیسم با جبر دروغ رتبه کامل ابزارهای اساسی هستند که نیاز به ارائه دقیق دارند. من می دانم که گنجاندن مطالب مربوط به تطابق جبری و هممورفیسم با جبر دروغ با رتبه کامل در دروس کاربرد جبرهای دروغ در معادلات هذلولی استاندارد نیست. من فکر می کنم باید باشد. علاوه بر این، ساختار جبری Lie نقش مهمی در نمایش یکپارچه برای راه‌حل‌های سیستم‌های کنترل غیرخطی و معادلات دیفرانسیل تصادفی ایفا می‌کند که نتایجی را نشان می‌دهند که در تنظیمات اصلی خود کاملاً متفاوت به نظر می‌رسند. فیلترهای گوش غیر خطی با ابعاد محدود برای معادلات دیفرانسیل تصادفی و، مثلاً، تجزیه پذیری یک سیستم کنترل غیرخطی، درک مشترکی در این چارچوب دریافت می‌کنند.

The main part of the book is based on a one semester graduate course for students in mathematics. I have attempted to develop the theory of hyperbolic systems of differen­ tial equations in a systematic way, making as much use as possible ofgradient systems and their algebraic representation. However, despite the strong sim­ ilarities between the development of ideas here and that found in a Lie alge­ bras course this is not a book on Lie algebras. The order of presentation has been determined mainly by taking into account that algebraic representation and homomorphism correspondence with a full rank Lie algebra are the basic tools which require a detailed presentation. I am aware that the inclusion of the material on algebraic and homomorphism correspondence with a full rank Lie algebra is not standard in courses on the application of Lie algebras to hyperbolic equations. I think it should be. Moreover, the Lie algebraic structure plays an important role in integral representation for solutions of nonlinear control systems and stochastic differential equations yelding results that look quite different in their original setting. Finite-dimensional nonlin­ ear filters for stochastic differential equations and, say, decomposability of a nonlinear control system receive a common understanding in this framework.