Optimization algorithms on matrix manifolds

بسیاری از مشکلات در علوم و مهندسی را می‌توان به عنوان مسائل بهینه‌سازی در فضاهای جستجوی ماتریسی که دارای ساختاری به اصطلاح چندگانه هستند، بازنویسی کرد. این کتاب نشان می دهد که چگونه می توان از ساختار ویژه چنین مسائلی برای توسعه الگوریتم های عددی کارآمد استفاده کرد. تأکید دقیقی بر فرمول‌بندی عددی الگوریتم و انتزاع هندسی دیفرانسیل آن دارد - نشان می‌دهد که چگونه الگوریتم‌های خوب به همان اندازه از بینش‌های هندسه دیفرانسیل، بهینه‌سازی و تحلیل عددی بهره می‌برند. دو فصل نظری دیگر پیش زمینه هندسه دیفرانسیل را که برای توسعه الگوریتمی ضروری است در اختیار خوانندگان قرار می دهد. در فصل‌های دیگر، چندین روش بهینه‌سازی معروف مانند شیب‌های تند و مزدوج به منیفولدهای انتزاعی تعمیم داده شده‌اند. این کتاب یک توسعه کلی از هر یک از این روش ها را ارائه می دهد که بر اساس مواد فصل های هندسی است. سپس خوانندگان را از طریق محاسبات راهنمایی می کند که این روش های فرموله شده هندسی را به الگوریتم های عددی مشخص تبدیل می کند. الگوریتم‌های پیشرفته‌ای که به عنوان مثال ارائه می‌شوند، با بهترین الگوریتم‌های موجود برای انتخاب مسائل فضای ویژه در جبر خطی عددی رقابت می‌کنند.

الگوریتم‌های بهینه‌سازی در منیفولدهای ماتریسی، تکنیک‌هایی با کاربردهای گسترده در جبر خطی ارائه می‌دهند. پردازش سیگنال، داده کاوی، بینایی کامپیوتر و تجزیه و تحلیل آماری. این می تواند به عنوان یک کتاب درسی در سطح فارغ التحصیل باشد و مورد علاقه ریاضیدانان کاربردی، مهندسان و دانشمندان کامپیوتر باشد.

Many problems in the sciences and engineering can be rephrased as optimization problems on matrix search spaces endowed with a so-called manifold structure. This book shows how to exploit the special structure of such problems to develop efficient numerical algorithms. It places careful emphasis on both the numerical formulation of the algorithm and its differential geometric abstraction--illustrating how good algorithms draw equally from the insights of differential geometry, optimization, and numerical analysis. Two more theoretical chapters provide readers with the background in differential geometry necessary to algorithmic development. In the other chapters, several well-known optimization methods such as steepest descent and conjugate gradients are generalized to abstract manifolds. The book provides a generic development of each of these methods, building upon the material of the geometric chapters. It then guides readers through the calculations that turn these geometrically formulated methods into concrete numerical algorithms. The state-of-the-art algorithms given as examples are competitive with the best existing algorithms for a selection of eigenspace problems in numerical linear algebra.

Optimization Algorithms on Matrix Manifolds offers techniques with broad applications in linear algebra, signal processing, data mining, computer vision, and statistical analysis. It can serve as a graduate-level textbook and will be of interest to applied mathematicians, engineers, and computer scientists.